Fractales de Mandelbrot

Como se ve en está versión del clásico cuadro de Hokusai “La gran ola” hay también unos fractales, aunque de forma intuitiva el pintor uso la base de lo que son los fractales, ya que para lograr esas formas y mantener la simetría, fue superponiendo figuras y repitiéndolas a mayor escala. En la naturaleza hay repetición de formas similares a distintas escalas de observación. Así, una parte de una nube para a una nube entera, y una roca recuerda las formas de la montaña; Hokusai lo entendió y lo uso para sus cuadros y Mandelbrot desarrollo la formula para recrearlo.
Mandelbrot sostiene que los fractales, en muchos aspectos, son más naturales, y por tanto mejor comprendidos intuitivamente por el hombre, que los objetos basados en la geometría euclidiana, que han sido suavizados artificialmente, y en palabras de él:

Las nubes no son esferas, las montañas no son conos, los litorales no son circulares, y los ladridos no son suaves, lo mismo que los relámpagos no viajan en línea recta.
De Introduction to The Fractal Geometry of Nature

Un fractal es una figura que se repite infinitamente en el espacio sin importar la escala en la que se observe, tiene un área finita y un perímetro infinito.

Gaston Maurice Julia fue un precursor en lo que hoy se conoce como fractales, él decía que a partir de cualquier función compleja se puede fabricar, por medio de una sucesión definida por inducción, un conjunto cuya frontera es imposible de dibujar a pulso, sin embargo en la época de Mandelbrot ya existían los ordenadores con los que es posible generar fractales. Como los del video:



En 1967 la revista Science publica su articulo “Cuánto mide la costa de gran Bretaña”

Este artículo Mandelbrot empieza con cierta evidencia empírica de que la medición de una línea geográfica real depende de la "regla de medir" o escala mínima usada para medirla, debido a que los detalles cada vez más finos de esa línea aparecen al usar una regla de medir más pequeña. A continuación Mandelbrot trata el tema de las curvas autosimilares que tienen dimensiones fraccionales entre 1 y 2. Tales curvas son ejemplos de curvas fractales, aunque Mandelbrot no emplea este término en su artículo, pues no lo acuñó hasta 1975.
El conjunto de Mandelbrot consiste en una serie de números complejos en una matriz donde el valor de cada número está representado por un color. Cada punto de la imagen es un número calculado por computadora según la ecuación: Zn+1 = Zn2 + C
Es decir, tomando en cuenta que cada número está compuesto por una parte real y otra imaginaria representada por i, que es igual a la raíz cuadrada de –1. Entonces, al tomar un número cualquiera C y elevarlo al cuadrado se obtendrá un número al que se le volverá a sumar C, se vuelve a elevar al cuadro y así sucesivamente, de esa manera se genera la serie de números, y como se ve en la figura de abajo, sólo los números que están dentro del conjunto se ven de color, en este caso -1 es parte del conjunto mientras que 1 no.

En el video es posible ver varios colores en el fractal, eso es posible al algoritmo del tiempo de escape. Los colores de los puntos que no pertenecen al conjunto indican la velocidad con la que diverge (tiende al infinito, en módulo) la sucesión correspondiente a dicho punto, o sea según el tiempo que se tarde la computadora en darse cuenta si un valor es parte o no del conjunto será el color que tendrá.
Espero les haya interesado, y si tienen ganas de hacer sus propios fractales prueben con este programita.